CLASSE Nº10: EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

1.- TAXA DE VARIACIÓ MITJANA

2.- DERIVADA EN UN PUNT

3.- REGLES DE DERIVACIÓ

4.- EQUACIÓ DE LA RECTA TANGENT

5.- MÀXIMS I MÍNIMS

6.- GRÀFIC D'UNA FUNCIÓ POLINÒMICA

7.- GRÀFIC DE FUNCIONS RACIONALS

8.- ESTUDI I REPRESENTACIÓ D'UNA FUNCIÓ

9.- DETERMINACIÓ D'UNA FUNCIÓ

10.- CREIXEMENT I DECREIXEMENT D'UNA FUNCIÓ

CLASSE Nº9: LLENGUATGE MATEMÀTIC

9.- COM ANOMENEM LES FUNCIONS I LES DERIVADES

Funcions i variables

Per a anomenar una funció, utilitzem una lletra. Per exemple f, g, h,... Una funció lliga dues variables. Per exemple, x i z. Posem z=f(x).

Paràmetres

Per a designar el valor que pren una funció f per a un cert valor de x, per exemple, 4, posem f(4). Però si no volem concretar aquest valor de x, aleshores posem a o c o una altra lletra que no exercisca, habitualment, el paper de "variable": f(a), f(c),... Però és que a o c no són variables? Sí, ho són perquè varien, és a dir, poden pendre valors variats. Peò no són la variable de la funció. Anomenem aquestes lletres paràmetres.

Funció derivada

Si f és una funció derivable, la derivada és, obviament, una altra funció. Saps que es designa f' (f prima).

Prima significa primera (mira-ho al diccionari). La funció derivada de f', que es designaria (f')' s'anommena derivada segona de f i es denota simplement així: f'' (f segona). Anàlogament, (f'')'=f''' (derivada de f'' és d tercera).

Posem f'o Df?

f' és el nom d'una funció nova. Df és l'ordre de derivar la funció f i el resultat és f', és a dir, Df=f'. Segons això, podem posar D(x+1-cos x), però no es correcte posar (x+1-cos x)' encara que de vegades s'escriu i no és massa greu. 

CLASSE Nº8: REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS RACIONALS

8.- REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS RACIONALS

Les funcions racional són se la forma P(x)/Q(x), on P(x) i Q(x) són plinomis. Per exemple:

Aquelles que tractarem ací són d'un nivell similar a les anteriors, amb denominadors de grau un o dos. Totes tenen la curiosa peculiaritat que coneixent perfectament totes les branques infinites, podrem fer un esbós molt aproximat de la corba.

Per representar una funció racional simplificada P(x)/Q(x). trobarem:

1.- Asímptotes verticals.Les arrels del denominador (solucions de léquació Q(x)=0 són les abscisses de las asímptotes verticals. Les obtenim juntamente amb la posició de la corba respecte de elles.

2.- Asímptotes horitzontals i obliqües

        - Si grau de P(x) < grau de Q(x), hi ha asímptota horitzontal.

        - Si grau de P(x)= grau de Q(x)+1, hi ha asímptota obliqua.

        Si n'hi ha, trobem l'asímptota horitzontal o obliqua i la posició respecte d'ella.

        - Si grau de P(x)-grau de Q(x) >12, no hi ha asímptota horitzontal ni obliqua, però sí branques infinites en +-infinito.

Amb totes aquestes branques infinites quasi sempre podem fer un esbós molt aproximat a la forma de la corba.

3.- Punta singulars. Les abscises són les solucions f'(x)=0.

4.- Altres punts. Els podem obtindre si volem més precisió.

8.2.- EXERCICIS RESOLTS

EXERCICI 1: Representa la següent funció de la qual coneixem les asímptotes i la posició de la corba respecte a aquesta:

EXERCICI 2: Representa la següent funció de la qual sabem que no té asímptotes verticals i coneixem l'asímptota obliqua:

EXERCICI 3: Representa la següent funció de la qual coneixem les asímptotes verticals, l'horitzontal i la posició de la corba respecte d'aquestes:

8.3.- EXERCICIS PROPOSATS

EXERCICI 1:

CLASSE Nº7: REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS POLINÒMIQUES

7.- REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS POLINÒMIQUES

Les funcions polinòmiques són de la forma P(x), on P(x) és un polinomi. Per exemple:

Són funcions contínues, amb només dues branques infinites (en -infinito i en + infinito).
Si a més de coneixer les branques infinites localitzem tots els punt de tangent horitzontal (punts singulars), podrem representar-les amb molta precisió.

Per representar una funció polinòmica, P(x), de grau major que dos:

• Trobem dues branques infinites:
  
• Resolem l'equació P'(x)=0. Les solucions, si n'hi ha, són les abscisses dels punts singulars. A continuació, se n'obtenen les ordenades.
• S'unixen els punts obtinguts entre si i amb les branques infinites, anant a espai de no dibuixar altres punts singulars que els ja obtinguts. d'aquesta manera, esbrinem quins són els màxims i mínims relatius.
• Si podem, convé obtindre, també, els punts de tall amb els eixos per a aconseguir una major precisió en la representació.

7.1.- EXERCICIS RESOLTS

EXERCICI 1: Representa la funció polinòmica següent:

EXERCICI 2: Representa la funció polinòmica següent:

7.2.- EXERCICIS PROPOSATS

EXERCICI 1: 

CLASSE Nº6: UTILITAT DE LA FUNCIÓ DERIVADA

6.- UTILITAT DE LA FUNCIÓ DERIVADA

Quan una funció ens ve donada per l'expressió analítica, f(x),  derivada, f'(x), ens dóna la inclinació (el pendent) de la corba a cada punt. Vegem-ne, en concret, algunes de les aplicacions.

Càlcul de la derivada d'una funció en diversos punts.

Per trobar f'(a), f'(b), f'(c),..., es procedix així:

    - S'obté l'expressió general de f'(x).
    - Es substituïx en f'(x) la x per a, b, c,...

Obtenció de les abscisses en les quals la derivada té un cert valor.

Per esbrinar els valors de x tals que f'(x)=k, es procedix així:

    - S'obté l'expressió general de f'(x).
    - Es resol l'equació de f'(x)=k.

Obtenció de les abscisses dels punts singulars.

Anomenem punts singulars els punts de tangent horitzontal, és a dir, els punts en què la derivada és zero. Entre ells trobem els màxims i mínims relatius, però por haver-n'hi d'altres.

Les abscisses dels punts singulars són les solucions de f'(x)=0.

Obtenció de trams on la corba creix o decreix.

Si f'(x)>0, la funció és creixent, i si f'(x)>0, la corba és decreixent. Per tant, resolent aquestes inequacions s'obtenen els intervals on la corba creix o decreix.

6.2.- EXERCICIS RESOLTS

Donada la funció següent:

a) Troba la derivada de la funció en els punts -1, 0, 2 i 4.

b) Troba la recta tangent en el punt d'ascissa x=2.

c) Esbrina les abscisses dels possibles màxims i mínims relatius.

d) En x=4, és creixent o decreixent?

6.3.- EXERCICIS PROPOSATS

EXERCICI 1: Calcula la funció derivada de la funció següent:

a) Els pendents de les rectes tangents a les abscisses -1, 1 i 3.

b) Les equacions d'aquestes rectes tangents.

c) Les abscisses dels possibles màxims i mínims relatius.

d) És f(x) creixent o decreixent en x=2?

CLASSE nº5: DERIVADA D'UNA FUNCIÓ COMPOSTA. REGLA DE LA CADENA

5.- DERIVADA D'UNA FUNCIÓ COMPOSTA. REGLA DE LA CADENA

La derivada d'una funció composta és:

5.1.- EXERCICIS RESOLTS

    

      

5.2.- EXERCISIS PROPOSATS

Troba la funció derivada de les funcions següents:

CLASSE Nº2: CREIXIMENT D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT. DERIVADA

2.- CREIXIMENT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT. DERIVADA

El creiximent d'una funció en un punt ve donat, de forma natural, pel creixement (el pendent) de la recta tangent a la corba en aquest punt.

Així, la mesura del creixement de la funció adjunta en els punts A, B, c i d és, respectivamente 2, -1, 0 i 2'5 (comprova-ho).

En aquest apartat aprendrem a calcular el creixement en un punt de funcions donades no ja gràficament, sinó mitjançcant les seues expressions analítiques.

2.1.- RELACIÓN DEL CREIXEMENT EN UN PUNT AMB LA TVM

La TVM d'una funció en un interval s'interpreta com el pendent de la corda corresponents. Segons això, serà:


TVM [a, b1] = pendent de AB1.

TVM [a, b2] = pendent de AB2.

TVM [a, b3] = pendent de AB3.



La recta tangent t s'obté com a límit de les secants AB1, AB2, AB3, ... Per tant, el pendent és el límit dels pendents de les secants, ABi quan Bi s'apropa a A.

2.2.- DERIVADA D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

El creixement d'una funció en un punt es mesura del pendent tangent al gràfic de la funció en aquest punt. s'obté mitjanç l'expressió següent:

Aquest valor el anomenem derivada de f en a, es designa per f'(a).

2.3.- EXERCICIS RESOLTS

EXERCICI 1: Troba el valor de la derivada de la següent funció en els punts x=1, x=0 i x=3.

EXERCICI 2: Troba la derivada de la funció f(x) = 3/(x-2)  en x=4.

2.4.- EXERCICIS PROPOSATS

EXERCICI 1: Troba la derivada de la següent funció en els punts d'abscisses 4 i 5.

EXERCICI 2: Troba la derivada de la funció f(x) = 3/(x-2) en els punts d'abscisses 1, -1 i 5.

EXERCICI 3: Troba la derivada de la funció f(x) = 1/x en els punts d'abscisses -2, -1, 1 i 2.