CLASSE Nº6: UTILITAT DE LA FUNCIÓ DERIVADA

6.- UTILITAT DE LA FUNCIÓ DERIVADA

Quan una funció ens ve donada per l'expressió analítica, f(x),  derivada, f'(x), ens dóna la inclinació (el pendent) de la corba a cada punt. Vegem-ne, en concret, algunes de les aplicacions.

Càlcul de la derivada d'una funció en diversos punts.

Per trobar f'(a), f'(b), f'(c),..., es procedix així:

    - S'obté l'expressió general de f'(x).
    - Es substituïx en f'(x) la x per a, b, c,...

Obtenció de les abscisses en les quals la derivada té un cert valor.

Per esbrinar els valors de x tals que f'(x)=k, es procedix així:

    - S'obté l'expressió general de f'(x).
    - Es resol l'equació de f'(x)=k.

Obtenció de les abscisses dels punts singulars.

Anomenem punts singulars els punts de tangent horitzontal, és a dir, els punts en què la derivada és zero. Entre ells trobem els màxims i mínims relatius, però por haver-n'hi d'altres.

Les abscisses dels punts singulars són les solucions de f'(x)=0.

Obtenció de trams on la corba creix o decreix.

Si f'(x)>0, la funció és creixent, i si f'(x)>0, la corba és decreixent. Per tant, resolent aquestes inequacions s'obtenen els intervals on la corba creix o decreix.

6.2.- EXERCICIS RESOLTS

Donada la funció següent:

a) Troba la derivada de la funció en els punts -1, 0, 2 i 4.

b) Troba la recta tangent en el punt d'ascissa x=2.

c) Esbrina les abscisses dels possibles màxims i mínims relatius.

d) En x=4, és creixent o decreixent?

6.3.- EXERCICIS PROPOSATS

EXERCICI 1: Calcula la funció derivada de la funció següent:

a) Els pendents de les rectes tangents a les abscisses -1, 1 i 3.

b) Les equacions d'aquestes rectes tangents.

c) Les abscisses dels possibles màxims i mínims relatius.

d) És f(x) creixent o decreixent en x=2?