CLASSE Nº2: CREIXIMENT D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT. DERIVADA

2.- CREIXIMENT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT. DERIVADA

El creiximent d'una funció en un punt ve donat, de forma natural, pel creixement (el pendent) de la recta tangent a la corba en aquest punt.

Així, la mesura del creixement de la funció adjunta en els punts A, B, c i d és, respectivamente 2, -1, 0 i 2'5 (comprova-ho).

En aquest apartat aprendrem a calcular el creixement en un punt de funcions donades no ja gràficament, sinó mitjançcant les seues expressions analítiques.

2.1.- RELACIÓN DEL CREIXEMENT EN UN PUNT AMB LA TVM

La TVM d'una funció en un interval s'interpreta com el pendent de la corda corresponents. Segons això, serà:


TVM [a, b1] = pendent de AB1.

TVM [a, b2] = pendent de AB2.

TVM [a, b3] = pendent de AB3.



La recta tangent t s'obté com a límit de les secants AB1, AB2, AB3, ... Per tant, el pendent és el límit dels pendents de les secants, ABi quan Bi s'apropa a A.

2.2.- DERIVADA D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT

El creixement d'una funció en un punt es mesura del pendent tangent al gràfic de la funció en aquest punt. s'obté mitjanç l'expressió següent:

Aquest valor el anomenem derivada de f en a, es designa per f'(a).

2.3.- EXERCICIS RESOLTS

EXERCICI 1: Troba el valor de la derivada de la següent funció en els punts x=1, x=0 i x=3.

EXERCICI 2: Troba la derivada de la funció f(x) = 3/(x-2)  en x=4.

2.4.- EXERCICIS PROPOSATS

EXERCICI 1: Troba la derivada de la següent funció en els punts d'abscisses 4 i 5.

EXERCICI 2: Troba la derivada de la funció f(x) = 3/(x-2) en els punts d'abscisses 1, -1 i 5.

EXERCICI 3: Troba la derivada de la funció f(x) = 1/x en els punts d'abscisses -2, -1, 1 i 2.