CLASSE Nº3: FUNCIÓ DERIVADA D'UNA ALTRA

3.- FUNCIÓ DERIVADA D'UNA ALTRA

En l'últim exercici que es proposa a la pàgina anterior vos demane calcular la derivada de la funció següent en diversos punts. 

Els resultats són els següents:

Es tracta d'una nova funció f' que associa a cada abscissa, x, el valor del pendent (la derivada) de la funció f en x.

                                                 f'(x)      [pendent   de f en x]

La funció f' s'anomena funció derivada de f [el nom de derivada ve d'ací, ja que la funció f' derivada (prové) de la funció f].

Els valors de la taula anterior, (-2, -6), ..., (4, 6), que són els punts representats en roig en el gráfig, corresponen a la recta y= 2x-2.

És a dir, la funció derivada de f(x) és f'(x)=2x-2.

Per provar-ho, obtinguem la derivada de f(x) en un punt qualsevol, x, pas a pas, com ho hem fet en els exercicis resolts del dia anterior:

Per tant, hem obtingut que f'(x) = 2x-2, com havíem previst.

S'anomena funció derivada de f (o simplement derivada de f) una funció f' que associa a cada abscissa, x, la derivada de f en aquest punt, f'(x), és a dir, el pendent de la corba f(x) en aquest punt. Anomenem la derivada de f, f' o bé Df.

3.1.- EXERCICIS PROPOSATS

EXERCICI 1: Troba la derivada de la funció següent i comprova que, a partir d'aquesta, podem obtindre els valors concrets trobats en l'exercici resolt 1 i en l'exercici proposat 1 de la classe anterior.

EXERCICI 2: Troba la derivada de la funció següent :

EXERCICI 3: Troba la derivada de f(x)=3/(x-2) i comprova que, a partir d'aquesta, podem obtindre els valors concrets calculats en l'exercici resolt 2 i en l'exercici proposat 2 de la classe anterior.

EXERCICI 4: Troba la derivada de la funció següent :

CLASSE Nº1: CREIXIMENT D'UNA FUNCIÓ EN UN INTERVAL

1.- CREIXIMENT D’UNA FUNCIÓ EN UN INTERVAL

Aquestes funcions creixen el mateix, 3 unitats entre els punts A i B. Però el creixement mitjà o pendent és molt diferent:

En la primera 3/9 = 1/3     i en la segona  3/1 = 3.

1.2.- TAXA DE VARIACIÓ MITJANA (TVM)

S’anomena taxa de variació mitjana (TVM) d’una funció, f(x), en un interval [a,b] el quocient:

 

És el pendent del segment que unix els punts A(a, f(a)) i B(b, f(b)).

Si una funció és creixent en [a, b], la taxa de variació mitjana és positiva i si és decreixent és negativa.

1.3.- EXERCICIS RESOLTS

EJERCICI 1:
El gràfic adjunt mostra la temperatura d'un radiador, alimentat per una caldera de carbó, des que aquesta s'encén fins a huit hores després. Troba la TVM en els intervals [0, 2], [0, 1], [2'5, 3'5], [2, 4] i [4, 8]. Quin n'és el significat?

EXERCICI 2:
Troba la TVM de la funció següent en els intervals [1, 2], [1, 3], [1, 4] i [1, 5].

EXERCICI 3:
Troba la TVM de la funció de l'exercici anterior en un interval amb origen en l'1 i amb longitud variable, h. És a dir, en l'interval [1, 1+h].

Observa que, ara, si donem a h els valors 1, 2, 3 i 4, respectivamente, obtenim les TVM obtingudes en els quatre intervals de l'exercici anterior.

1.4.- EXERCICIS PROPOSATS

EJERCICI 1:
Troba la TVM de la funció següent en els intervals [1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7] i [1, 8].

EJERCICI 2:
Troba la TVM de la funció de l'exercici anterior en l'interval variable [1, 1+h]. Comprova que, si dones a h els valors adequats, s'obtenen els resultats de l'exercici anterior.